 |
||
|
 |
|
|
||
|
||
|
||
|
|
|
|
||
|
||
|
||
|
|
|
| Об этапе | ||
|
||
|
||
|
|
|
| Участники | ||
|
||
|
||
|
|
|
| Задания | ||
|
||
|
||
|
|
|
| Требования | ||
|
||
|
||
|
|
|
| Решения | ||
|
||
|
||
|
|
|
| Итоги | ||
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Главная | Этап I | Этап II | Этап III | Итоги | О проекте | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Этап 1. Задачи |
1.Можно ли представить число 2004 в виде суммы кубов двух целых чисел?2.Действительные числа x1, x2, x3, x4 и x5 принадлежат отрезку [0, 1]. Из этих чисел составляются все произведения следующего вида:x1*x2*(1-x3)*(1-x4)*(1-x5), x1*(1-x2)*x3*(1-x4)*(1-x5), x1*(1-x2)*(1-x3)*x4*(1-x5), ... (1-x1)*(1-x2)*(1-x3)*x4*x5. (Двумя множителями являются два из данных пяти чисел, а остальными тремя - дополнения остальных чисел до 1). Доказать, что сумма всех составленных произведений не превосходит 1. 3.Докажите, что для любого действительного k от 1 до квадрат со стороной 1 можно разрезать
на три части, из которых можно сложить ромб со стороной k.
4.В стране m городов, некоторые из которых соединены дорогами, при этом из любого города можно проехать в любой другой. Набор городов назовем центральным, если любой город, не входящий в этот набор, соединен дорогой с одним из городов данного набора. Докажите, что в стране существует центральный набор, состоящий не более чем из (m+1)/2 городов.5.В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD. Известно, что произведение углов BDE и DEA равно произведению углов BED и EDC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.6.В тетраэдре ABCD точка O1 - точка пересечения медиан треугольника CBA, O2 - точка пересечения медиан треугольника CBO1, O3 - точка пересечения медиан треугольника CBO2, и так далее, точка O2004 - точка пересечения медиан треугольника CBO2003. Точка A движется так, что длина отрезка DO2004 постоянна. Найти геометрическое место всех возможных положений точки A. |
