Алгебра. Задача N 1 (7 баллов).

Дан набор положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n (a_k ≥ 1 для всех k от 1 до n). Докажите, что

.

(Предполагаем, что a_n+1=a₁, a_n+2=a₂, ...)

Алгебра. Задача N 2 (7 баллов).

Дан набор чисел a₁, a₂, ..., a_n и действительное число α ≥1. Докажите неравенство:

Алгебра. Задача N 3 (5 баллов).

Для произвольного натурального n найдите хотя бы один корень уравнения:

, где F_k- k-ый член последовательности Фибоначчи (F₀=1, F₁=1, F_k=F_k-1+F_k-2, k≥2).

Алгебра. Задача N 4 (5 баллов).

Пусть a_n - ближайшее к целое число (n - натуральное). Чему равен
НОД(a_n, a_n+1)?

Теория чисел. Задача N 1 (7 баллов).

Найдите все натуральные n, при которых уравнение имеет решение в целых числах.

Теория чисел. Задача N 2 (5 баллов).

Докажите, что натуральное число n является квадратом простого числа тогда и только тогда, когда выполняется равенство

где - количество натуральных чисел, взаимно простых с n,

- сумма всех натуральных делителей числа n,

- количество всех натуральных делителей числа n.

Теория чисел. Задача N 3 (4 балла).

Докажите, что произведение 12 последовательных натуральных чисел не может быть шестой степенью натурального числа.

Теория чисел. Задача N 4 (3 балла).

Докажите, что уравнение 33(x² + y² + z²) + 7(x + y + z) +1 = 0 не имеет решений в рациональных числах.

Геометрия. Задача N 1 (7 баллов).

Даны икосаэдр и додекаэдр с равными расстояниями от центра до ребра. У какого из многогранников больше объем?

Геометрия. Задача N 2 (5 баллов).

Пусть A₁, B₁ и C₁ - середины сторон треугольника ABC, A₂, B₂, C₂ - проекции A, B, C на B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁, соответственно, A₃, B₃, C₃ - вершины треугольника, образованного касательными к описанной окружности треугольника ABC в его вершинах. Докажите, что прямые AA₃, BB₃, CC₃, A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Геометрия. Задача N 3 (4 балла).

Одна из проекций точки D на стороны треугольника ABC является серединой отрезка между двумя другими. Докажите, что одна из проекций точки C на стороны треугольника ABD также является серединой отрезка между двумя другими.

Геометрия. Задача N 4 (3 балла).

Даны две окружности, пересекающиеся в точках A и B, и точка P вне каждой из них. PX₁ и PY₁ - касательные, проведенные из P к одной из окружностей, PX₂ и PY₂ - к другой,
Q - точка пересечения прямых X₁Y₁ и X₂Y₂. Докажите, что середина отрезка PQ лежит на прямой AB.

Комбинаторная геометрия. Задача N 1 (7 баллов).

Даны 6 различных точек в пространстве. Докажите, что отношение наибольшего расстояния между этими точками к наименьшему больше или равно .

Комбинаторная геометрия. Задача N 2 (7 баллов).

Даны два правильных треугольника со стороной 1 в пространстве. Расстояние между любыми двумя вершинами этих треугольников не превосходит 1. Докажите, что они имеют общую вершину.

Комбинаторная геометрия. Задача N 3 (5 баллов).

На поверхности шарообразной планеты расположены 5 радиомаяков, каждый из которых может работать, если в радиусе 1000 км от него не работает такой же маяк. Докажите, что на поверхности этой планеты можно было бы разместить и 6 таких же маяков.

Комбинаторика. Задача N 1 (7 баллов).

Даны 19 точек в пространстве такие, что каждые 4 образуют тетраэдр и площади треугольников, образованных любыми тремя точками - различные числа. Докажите, что среди них найдется тетраэдр, у которого наибольшая по площади грань будет наименьшей по площади гранью в каком-то другом тетраэдре.

Комбинаторика. Задача N 2 (4 балла).

Из полного набора домино выбрали несколько костяшек и выложили по правилам в один ряд. Докажите, что костяшки всего набора можно выложить в один ряд, в котором выбранные костяшки идут в том же порядке (может быть, не подряд).

Комбинаторика. Задача N 3 (4 балла).

Из чисел от 1 до n составлены все неупорядоченные по k различных чисел (k<n/2). Докажите, что в каждый набор можно добавить по одному числу (в разные наборы может добавляться одно и то же число) таким образом, что получатся различные неупорядоченные наборы по k+1 различных чисел.